AOCLS 虛擬光刻模擬引擎：物理約束神經算子、格點收斂與拓撲驗證框架

摘要

本文提出 AOCLS 虛擬光刻模擬引擎的第二版架構。其目標不是以神經網路取代所有高保真數值求解器，而是在 AOCLS「觀察—理解—模擬—製造—驗證」閉環中，建立一個具備物理約束、跨格點檢驗、拓撲保真與不確定性輸出的快速代理模擬層。

本文將光刻製程表述為參數化多物理場解算子。輸入包括光源、光學元件、材料場、幾何、邊界條件與製程參數；輸出則可依任務需要包含電磁場、溫度、反應物濃度、聚合程度、位移與應力。高保真離散求解器記為 $\mathcal{F}_h$ ，其中 $h$ 代表空間離散尺度；待學習的代理模型記為 $\mathcal{G}_\phi$ 。本文提出格點—拓撲物理約束神經算子框架，使 $\mathcal{G}_\phi$ 同時接受場函數、材料函數與離散尺度，並以資料誤差、偏微分方程殘差、邊界條件、能量平衡、幾何誤差、持久同調拓撲誤差、跨格點一致性與不確定性校準共同訓練。

相較原始版本，本文做出五項關鍵修正。第一，不再把尚未執行的模擬寫成實驗結果。第二，不把 FDTD、FEM 或神經代理模型的複雜度簡化為不準確的單一公式。第三，將「拓撲不變量恆定」修正為「拓撲事件與參考解一致」；聚合體在形成、連接與封閉空腔時，本來就可能發生合法拓撲轉換。第四，以 Betti 數、Euler 示性數與持久同調取代一般材料情境下不必要的 Chern 數。第五，增加跨材料、跨幾何、跨解析度、域外輸入與真實製程校準的分層驗證協議。

本文的核心主張是：AOCLS 所需的不是一個宣稱永遠正確的「AI 物理模擬器」，而是一個能清楚區分已知域與未知域、能指出物理違反、能量化拓撲偏差、能回退至高保真求解器，並能為每次預測生成驗證證書的混合式計算系統。

關鍵詞：AOCLS、虛擬光刻、神經算子、科學機器學習、多物理場、格點收斂、持久同調、拓撲保真、不確定性量化、代理模型

第一章　問題定位與研究邊界

1.1 AOCLS 中的模擬瓶頸

AOCLS 的整體流程可表示為：

\text{多模態觀察} \longrightarrow \text{幾何與材料推斷} \longrightarrow \text{虛擬光刻} \longrightarrow \text{製程參數選擇} \longrightarrow \text{實體製造} \longrightarrow \text{量測回饋}.

其中，虛擬光刻並非單純產生一張光強圖，而是要回答以下問題：

指定光源與光學配置會形成何種三維場分布？
材料中的吸收、反應、擴散與熱累積如何隨時間演化？
最終可顯影或可固化區域的幾何是否符合目標？
結構是否出現斷裂、錯誤連接、封閉空腔或局部過曝？
模型對這次預測有多大把握？是否應交由高保真求解器複核？

高保真電磁與多物理場求解通常需要細密網格、長時間積分或大型稀疏系統求解。以 Yee 格點的 FDTD 為例，若空間格點總數為 $N$ 、時間步數為 $T$ ，每一時間步的局部更新通常約為 $O(N)$ ，總計算成本約為 $O(NT)$ ，並受到 CFL 穩定條件約束。FEM 的成本則取決於網格、元素階數、矩陣條件數、線性或非線性求解器與預條件器，不能一概寫成 $O(N^3)$ 。

因此，AOCLS 的合理策略不是捨棄數值求解器，而是建立兩層結構：

高保真層：提供可信基準、域外複核與最終簽核；
快速代理層：提供參數掃描、互動預覽、初步逆向設計與主動學習。

1.2 本文不主張的事項

本文不主張：

神經模型已經在所有材料與幾何上達成固定精度；
代理模型可以在沒有適用域檢查時取代 FDTD、FEM 或實驗；
物理殘差足夠小就等於實體製程必然正確；
拓撲約束會使所有形狀細節自動正確；
格點收斂可以僅靠單一解析度訓練自動獲得；
AOCLS 已完成真實設備、材料資料庫與閉環製造驗證。

本文提出的是一套可被實作、檢驗、證偽與逐級擴充的架構。

1.3 從「綜合微積分」到工程操作化

原始版本使用「綜合微積分」描述多種局部微分量、整體積分量與多場耦合量的共同表述。本文保留此思想，但在工程上將其操作化為多場狀態與描述符系統，不把它直接宣稱為已獲外部驗證的獨立數學體系。

對任一物理狀態 $\mathbf{s}$ ，定義綜合描述符：

\mathcal{D}[\mathbf{s}] = \left( \mathbf{s}, \nabla \mathbf{s}, \partial_t \mathbf{s}, \mathcal{I}[\mathbf{s}], \mathcal{T}[\mathbf{s}] \right),

其中：

$\mathbf{s}$ 是原始物理場；
$\nabla \mathbf{s}$ 與 $\partial_t\mathbf{s}$ 是局部空間與時間變化；
$\mathcal{I}$ 是能量、體積、質量或反應總量等積分泛函；
$\mathcal{T}$ 是連通性、孔洞與空腔等拓撲描述符。

如此可保留原始命題的跨尺度精神，同時使其能被標準數值分析與科學機器學習方法檢驗。

第二章　多物理場解算子

2.1 輸入、狀態與輸出

令 AOCLS 單次虛擬製程的輸入為：

\Theta = \left( G, M, S, B, P \right),

其中：

$G$ ：目標幾何、遮罩、錐形光學或其他光場生成幾何；
$M$ ：折射率、介電常數、吸收係數、熱參數、擴散係數、反應速率與力學參數等材料場；
$S$ ：波長、偏振、脈衝、功率、入射角與相位等光源條件；
$B$ ：週期、吸收、對稱、固定、絕熱或對流等邊界條件；
$P$ ：曝光時間、顯影閾值、掃描策略與其他製程控制參數。

完整狀態可寫為：

\mathbf{s}(\mathbf{x},t) = \left( \mathbf{E}, \mathbf{H}, T, c_m, c_r, \rho_p, \mathbf{u}, \boldsymbol{\sigma} \right),

其中 $c_m$ 與 $c_r$ 分別表示單體與活性反應物濃度， $\rho_p$ 表示聚合或固化程度。實際 MVP 不必一次求解全部分量，而應使用可切換的模型階層：

L0 光場模式：只估計 $\mathbf{E},\mathbf{H}$ 或光強；
L1 光化學模式：加入 $c_m,c_r,\rho_p$ ；
L2 熱耦合模式：加入 $T$ ；
L3 熱—化學—力學模式：加入 $\mathbf{u},\boldsymbol{\sigma}$ ；
L4 實驗校準模式：加入設備與材料偏差模型。

2.2 高保真離散解算子

在格點尺度 $h$ 與時間步長 $\Delta t$ 下，高保真求解器表示為：

\mathcal{F}_{h,\Delta t}:\Theta\mapsto \mathbf{s}_{h,\Delta t}.

本文擬學習的是參數到場函數的解算子：

\mathcal{G}_\phi: (\Theta,h,\Delta t) \mapsto \widehat{\mathbf{s}}_{h,\Delta t},

其中 $\phi$ 為模型參數。將 $h$ 與 $\Delta t$ 納入輸入，是為了避免模型把某一固定解析度誤認為物理定律本身。

2.3 電磁場方程

在線性、各向同性且可含導電損耗的簡化情況下：

\nabla\times\mathbf{E} = -\mu\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t},

\nabla\times\mathbf{H} = \epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} +\sigma_e\mathbf{E} +\mathbf{J}_{\mathrm{src}}.

若存在非線性極化，則應加入：

\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E} +\mathbf{P}^{(1)} +\mathbf{P}^{(2)} +\mathbf{P}^{(3)}+\cdots.

AOCLS 不應預設所有材料都能由單一吸收係數描述；材料模型必須明確聲明適用波長、溫度、劑量與非線性範圍。

2.4 熱與光化學演化

熱場可採用：

\rho_m C_p\frac{\partial T}{\partial t} = \nabla\cdot(\kappa\nabla T) +Q_{\mathrm{abs}} +Q_{\mathrm{rxn}} -Q_{\mathrm{loss}}.

聚合或固化反應可用一般反應—擴散形式表示：

\frac{\partial c_m}{\partial t} = \nabla\cdot(D_m\nabla c_m) -R(I,T,c_m,c_r),

\frac{\partial \rho_p}{\partial t} = R(I,T,c_m,c_r)-R_{\mathrm{term}}.

反應函數 $R$ 應由材料資料、文獻模型或校準實驗決定，而非直接假設為普適的 $I(1-\rho_p)$ 。

2.5 力學響應

若要預測收縮、翹曲或殘餘應力，可使用準靜態平衡：

\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f}=0,

\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}: \left( \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u}) -\boldsymbol{\varepsilon}^{\ast}(\rho_p,T) \right).

其中 $\boldsymbol{\varepsilon}^{\ast}$ 表示聚合收縮與熱膨脹造成的本徵應變。

2.6 能量平衡的正確形式

原始版本將輸入能量與吸收能量直接相等，忽略反射、透射、場能儲存與數值耗散。更完整的離散能量平衡應寫為：

E_{\mathrm{in}} = E_{\mathrm{ref}} +E_{\mathrm{trans}} +E_{\mathrm{abs}} +\Delta E_{\mathrm{field}} +\varepsilon_{\mathrm{num}}.

因此能量殘差可定義為：

\mathcal{R}_{E} = \frac{ \left| E_{\mathrm{in}} -E_{\mathrm{ref}} -E_{\mathrm{trans}} -E_{\mathrm{abs}} -\Delta E_{\mathrm{field}} \right| }{E_{\mathrm{in}}+\epsilon}.

此殘差能揭示明顯物理違反，但不能單獨證明所有局部場都正確。

第三章　格點化、穩定性與連續極限

3.1 離散化不是中性容器

不同離散方法會引入不同的數值色散、邊界誤差與人工耗散。AOCLS 代理模型若只學習單一求解器輸出，可能學到的是求解器特有偏差，而非目標物理。

因此資料集需保留：

求解器名稱與版本；
網格生成方法；
$h$ 與 $\Delta t$ ；
邊界條件；
收斂容許值；
硬體與數值精度；
已知近似與失效條件。

3.2 Yee 格點與其他離散方式

電磁 FDTD 可採交錯 Yee 格點；光化學與熱場可採有限差分、有限體積或 FEM；力學則可由 FEM 處理。不同場之間需要保守插值或共同網格映射。

對顯式 FDTD，時間步長需滿足類 CFL 條件。三維均勻格點的典型形式為：

\Delta t \le \frac{1}{c} \left( \frac{1}{\Delta x^2} +\frac{1}{\Delta y^2} +\frac{1}{\Delta z^2} \right)^{-1/2}.

神經代理模型即使能一次跨越多個時間步，也必須檢查其長期滾動誤差與因果性，不能只比較單步誤差。

3.3 格點收斂

對可觀測量 $Q$ ，若數值方法具有階數 $p$ ，理想誤差展開為：

Q(h) = Q^{\star} +C h^p +o(h^p).

代理模型應至少在三個解析度上接受檢驗：

h_1>h_2>h_3.

可使用 Richardson 外推估計 $Q^{\star}$ ，但前提是三個解析度已進入漸近收斂區。若尚未進入該區，外推出來的「連續極限」不具可信度。

3.4 跨格點一致性損失

令 $\mathcal{R}_{h_i\rightarrow h_j}$ 為網格轉換算子，則可定義：

\mathcal{L}_{\mathrm{grid}} = \sum_{i\ne j} \left\| \mathcal{R}_{h_i\rightarrow h_j} \widehat{\mathbf{s}}_{h_i} - \widehat{\mathbf{s}}_{h_j} \right\|^2_{W}.

這只能鼓勵解析度一致性，不能取代與高保真解及實驗的比較。

第四章　格點—拓撲物理約束神經算子

4.1 為何從固定 U-Net 升級為神經算子

固定尺寸 3D U-Net 可以作為早期基線，但它通常將輸入與輸出視為固定維度張量，對解析度、幾何與邊界條件變化的泛化有限。AOCLS 更適合學習函數空間之間的映射，因此本文採用神經算子作為主幹，並允許 Fourier Neural Operator、DeepONet、圖神經算子或混合架構作為候選。

這不代表神經算子天然跨解析度正確。模型仍需透過跨網格資料、域外測試與收斂協議驗證。

4.2 架構總覽

本文將模型暫稱為 LTPNO（Lattice-Topological Physics-constrained Neural Operator）。其模組包括：

幾何與材料編碼器：輸入空間材料場、目標幾何與邊界遮罩；
光源與製程參數編碼器：輸入波長、相位、偏振、功率與曝光程序；
神經算子主幹：學習參數化 PDE 的解算子；
時間傳播器：直接預測時空塊，或以自回歸方式推進；
物理校正層：降低 PDE、邊界與守恆殘差；
拓撲頭：計算連通分量、孔洞、空腔與持久同調描述；
幾何頭：輸出可製造區域、臨界尺寸與表面誤差；
不確定性頭：輸出置信區間、域外分數與回退建議。

抽象地寫：

\widehat{\mathbf{s}}_{t+\Delta t} = \Pi_{\mathrm{phys}} \left[ \mathcal{G}_\phi \left( \mathbf{s}_t, \Theta, h, \Delta t \right) \right],

其中 $\Pi_{\mathrm{phys}}$ 是校正或投影算子。對非線性耦合系統，該投影通常只是近似校正，不應宣稱能保證精確落在完整物理解流形上。

4.3 因果性與時間建模

光場、反應與熱場具有不同時間尺度。模型可採：

分段時間捆綁；
多速率積分；
光場準穩態加慢變化學場；
因果卷積或狀態空間模型；
自回歸與直接時空塊混合。

若模型預測 $K$ 個時間步，需同時報告單步誤差與滾動誤差：

\mathcal{E}_{\mathrm{roll}}(K) = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} \left\| \widehat{\mathbf{s}}_{t+k\Delta t} - \mathbf{s}_{t+k\Delta t} \right\|_W.

4.4 多保真修正

資料來源可包含粗格點模擬、細格點模擬與真實量測。可將代理模型寫成：

\widehat{\mathbf{s}}_{\mathrm{HF}} = \mathcal{G}^{\mathrm{LF}}_{\phi}(\Theta) + \Delta\mathcal{G}_{\psi} \left( \Theta, \mathcal{G}^{\mathrm{LF}}_{\phi}(\Theta) \right),

其中第一項學習低保真結構，第二項學習低保真到高保真的修正。真實設備校準也可採相同形式建立 sim-to-real 修正層。

第五章　物理、幾何與拓撲損失

5.1 總損失

總訓練目標定義為：

\mathcal{L} = \lambda_d\mathcal{L}_{\mathrm{data}} + \lambda_p\mathcal{L}_{\mathrm{PDE}} + \lambda_b\mathcal{L}_{\mathrm{BC}} + \lambda_e\mathcal{L}_{\mathrm{energy}} + \lambda_g\mathcal{L}_{\mathrm{geom}} + \lambda_t\mathcal{L}_{\mathrm{topo}} + \lambda_r\mathcal{L}_{\mathrm{grid}} + \lambda_u\mathcal{L}_{\mathrm{uncert}}.

權重不應由固定的「物理重要性數字」武斷指定。可採用無量綱化、梯度平衡、同方差不確定性加權、增廣拉格朗日法或分階段課程學習。

5.2 資料損失

對多場輸出：

\mathcal{L}_{\mathrm{data}} = \sum_{q\in\mathcal{Q}} \omega_q \frac{ \left\| \widehat{q}-q \right\|_2^2 }{ \left\|q\right\|_2^2+\epsilon },

其中 $\mathcal{Q}$ 可包含場、溫度、聚合程度與應力。應避免單一高幅值場支配全部梯度。

5.3 PDE 與邊界殘差

以 Maxwell 方程為例：

\mathcal{R}_{F} = \nabla\times\widehat{\mathbf{E}} + \mu\partial_t\widehat{\mathbf{H}},

\mathcal{R}_{A} = \nabla\times\widehat{\mathbf{H}} - \epsilon\partial_t\widehat{\mathbf{E}} - \sigma_e\widehat{\mathbf{E}} - \mathbf{J}_{\mathrm{src}}.

則：

\mathcal{L}_{\mathrm{PDE}} = \|\mathcal{R}_{F}\|_2^2 + \|\mathcal{R}_{A}\|_2^2 +\mathcal{L}_{\mathrm{thermal}} +\mathcal{L}_{\mathrm{reaction}} +\mathcal{L}_{\mathrm{mechanical}}.

邊界條件必須另行評估，否則低內部殘差仍可能對應錯誤解。

5.4 幾何損失

令固化區域為：

\Omega_{\tau} = \left\{ \mathbf{x}: ho_p(\mathbf{x},t_f)\ge\tau \right\}.

可使用 Dice、IoU、Chamfer 距離與 Hausdorff 距離。對臨界尺寸敏感的製程，還需計算局部線寬、孔徑、側壁角與表面粗糙度。

5.5 拓撲描述符

對三維固化區域，最直接的拓撲量為：

$\beta_0$ ：連通分量數；
$\beta_1$ ：獨立環或通道數；
$\beta_2$ ：封閉空腔數。

Euler 示性數為：

\chi = \beta_0-\beta_1+\beta_2.

若使用體素立方複形，也可由各維胞腔數計算：

\chi = N_0-N_1+N_2-N_3.

原始版本主張拓撲在時間中應保持不變，這並不普遍成立。聚合過程可能合法地出現成核、合併、打通與封閉事件。正確要求應是：

預測拓撲事件與高保真解或量測一致；
不應出現短暫數值雜訊造成的假連接或假孔洞；
最終拓撲需符合設計規格。

5.6 持久同調損失

單一閾值 $\tau$ 容易受數值雜訊影響。持久同調可觀察一系列閾值下拓撲特徵的出生與消失。令 $D_k(\rho_p)$ 為第 $k$ 維持久圖，則可定義：

\mathcal{L}_{\mathrm{topo}} = \sum_{k=0}^{2} \eta_k W_p \left( D_k(\widehat{\rho}_p), D_k(\rho_p) \right),

其中 $W_p$ 為持久圖距離。實作時可使用可微拓撲層，或將完整拓撲計算作為週期性驗證與模型選擇指標。

拓撲損失不能取代幾何損失。兩個物體可具有相同 Betti 數，卻在尺寸、位置與曲率上完全不同。

第六章　資料生成、主動學習與資料治理

6.1 資料來源分層

AOCLS 資料可分為：

解析或半解析基準：平面波、Gaussian beam、均勻介質與簡單界面；
低保真模擬：粗格點或簡化多物理模型；
高保真模擬：細格點 FDTD、FEM 或經驗證的商用／開源求解器；
實驗量測：顯微影像、輪廓儀、SEM、AFM、光譜與製程紀錄；
失敗案例：不收斂、材料參數缺失、設備飄移與製造破壞。

失敗資料不得刪除，因為域外偵測與回退策略正需要這些負例。

6.2 參數空間採樣

若輸入維度高，純均勻隨機採樣效率低。可混合使用：

Latin hypercube；
Sobol 序列；
基於靈敏度的局部加密；
貝葉斯最佳化；
不確定性主動學習；
拓撲事件附近的邊界採樣。

尤其應加密以下區域：

聚合閾值附近；
連通與斷裂相變附近；
高折射率或吸收梯度；
高熱累積區；
訓練模型不確定性高的輸入。

6.3 防止資料洩漏

資料切分不能只隨機切割樣本，否則相似幾何的細微變體可能同時出現在訓練與測試集中。至少需建立：

幾何家族留出；
材料家族留出；
波長區間留出；
解析度留出；
設備批次留出；
時間批次留出。

6.4 資料卡與可追溯性

每筆樣本應附帶：

\text{Sample ID} + \text{Solver Hash} + \text{Material Version} + \text{Mesh} + \text{BC} + \text{Hardware} + \text{Random Seed} + \text{Post-processing}.

如此才能判斷模型進步來自架構、資料或求解器版本變化。

第七章　分層驗證與驗收標準

7.1 五級驗證

V0：單元與守恆測試
檢查離散算子、邊界條件、能量計算與拓撲計算是否正確。

V1：解析基準
在有解析解或可信半解析解的場景中比較場幅值、相位與收斂階。

V2：求解器對求解器
與 FDTD、FEM 或其他高保真求解器比較，並跨幾何與材料留出。

V3：域外與失效測試
測試模型是否能對未知材料、未知幾何、極端參數與解析度外推發出警告。

V4：實驗閉環
以真實曝光、顯影與量測結果校準，區分數值誤差、材料模型誤差與設備誤差。

只有通過 V4，才可把模型稱為經實體製程驗證。

7.2 指標矩陣

類別	指標	用途
場精度	NRMSE、相位誤差、散射參數誤差	比較電磁場
物理一致性	PDE 殘差、邊界殘差、能量殘差	排除明顯非物理解
幾何	Dice、IoU、Hausdorff、臨界尺寸誤差	比較最終結構
拓撲	$\beta_0,\beta_1,\beta_2$ 、Euler、持久圖距離	檢查斷裂、錯接與空腔
時間	單次延遲、吞吐量、記憶體、訓練成本	衡量工程效益
泛化	幾何／材料／解析度留出誤差	衡量域外能力
可信度	覆蓋率、校準誤差、域外偵測 AUROC	決定是否回退

7.3 建議驗收門檻

以下僅是 MVP 的初始工程目標，必須在指定資料集、硬體、解析度與基準求解器下重新確認：

項目	建議初始門檻	狀態
場 NRMSE	$\le 5\%$	待實測
最終幾何 IoU	$\ge 0.95$	待實測
能量平衡殘差	$\le 1\%$	待實測
最終 Betti 數完全一致率	$\ge 95\%$	待實測
域內推理加速	相對同硬體基準求解器 $\ge 100\times$	待實測
高風險域外樣本回退率	$\ge 99\%$	待實測
置信區間經驗覆蓋	接近聲明覆蓋率	待實測

速度比較必須聲明：

相同問題定義；
相同精度門檻；
相同硬體或清楚列出硬體差異；
是否包含前處理、資料搬移與模型載入；
是否把離線資料生成與訓練成本計入總成本。

7.4 消融實驗

至少比較：

純資料模型；
加入 PDE 殘差；
加入能量與邊界條件；
加入拓撲損失；
加入跨格點訓練；
加入不確定性與回退；
神經算子與固定 U-Net 基線。

若物理或拓撲模組沒有改善域外誤差、失效偵測或樣本效率，就不能僅因概念漂亮而保留。

第八章　不確定性、回退與預測證書

8.1 不確定性的兩個來源

資料不確定性：量測噪聲、材料批次差異與設備飄移；
模型不確定性：訓練域不足、模型容量或錯誤歸納偏置。

可使用深度集成、貝葉斯近似、概率輸出頭、共形預測或其組合。輸出不應只有單一幾何，而應包括：

\left( \widehat{\mathbf{s}}, \mathcal{U}, \mathcal{R}_{\mathrm{phys}}, \mathcal{R}_{\mathrm{topo}}, \text{OOD Score}, \text{Decision} \right).

8.2 回退決策

定義風險分數：

\mathcal{Z} = a_1\mathcal{U} +a_2\mathcal{R}_{\mathrm{phys}} +a_3\mathcal{R}_{\mathrm{topo}} +a_4\mathcal{R}_{\mathrm{grid}} +a_5\mathcal{O}_{\mathrm{OOD}}.

當 $\mathcal{Z}$ 超過門檻，系統不得直接進入製造，而應：

呼叫高保真求解器；
要求更完整材料參數；
降低製程範圍或調整解析度；
將新結果加入主動學習佇列。

8.3 預測證書

每次預測應生成機器可讀證書，至少包含：

模型版本與權重指紋；
訓練資料版本；
輸入參數與材料版本；
網格與邊界條件；
預測模式；
物理殘差；
幾何與拓撲指標；
不確定性；
適用域判定；
是否允許進入製造；
是否已由高保真求解器或實驗複核。

此證書比單純顯示「98% 準確」更有工程價值。

第九章　工程實作路線

9.1 建議軟體結構

aocls-vl/
├── configs/          # 光源、材料、幾何與邊界設定
├── solvers/          # FDTD、FEM、反應擴散與耦合求解器介面
├── datasets/         # 資料卡、版本、切分與品質檢查
├── operators/        # FNO、DeepONet、圖算子與混合模型
├── physics/          # PDE、守恆與邊界殘差
├── topology/         # cubical complex、Betti、Euler、持久同調
├── uncertainty/      # ensemble、校準與域外偵測
├── validation/       # V0–V4 基準與報告
├── certificates/     # 預測證書格式
├── api/              # 推理、回退與批次模擬介面
├── tests/            # 單元、回歸與收斂測試
└── docs/             # 方法、限制與重現說明

9.2 最小可行版本

M0：數學與資料規格
完成材料 schema、幾何表示、求解器介面、資料卡與基準案例。

M1：二維光場代理模型
使用標量波或簡化 Maxwell 問題建立完整訓練、驗證與證書流程。

M2：三維電磁神經算子
加入複數場、邊界條件、因果時間推進與跨幾何測試。

M3：光化學與熱耦合
加入材料反應、熱擴散與多速率時間建模。

M4：拓撲與不確定性
加入持久同調、域外偵測、主動學習與回退。

M5：實體校準
連接 AOCLS 實驗設備，以量測結果建立 sim-to-real 修正與 V4 證據。

9.3 三種運作模式

Preview：快速、低成本、允許較大誤差，但必須顯示不確定性；
Verify：較高解析度、多模型集成，必要時自動呼叫高保真求解器；
Sign-off：必須有指定求解器或實驗複核，代理模型不得獨立簽核。

第十章　限制、可證偽命題與判敗條件

10.1 主要限制

材料參數可能比模型架構更限制準確度；
真實設備的像差、漂移、污染與批次差異難由理想模擬捕捉；
持久同調對拓撲敏感，但可能忽略幾何位置與尺寸；
物理殘差可因離散方式或自動微分誤差而被錯估；
神經算子對固定分布內插很強，對真正域外材料未必可靠；
多物理場耦合可能造成誤差逐層放大；
高保真資料生成成本不會因代理模型存在而消失，只是被轉移到離線階段。

10.2 可證偽命題

H1：物理約束改善域外泛化。
若加入 PDE、邊界與能量殘差後，在幾何或材料留出集上沒有穩定改善，則 H1 在該設定下被否證。

H2：跨格點訓練改善解析度轉移。
若多解析度模型在未見解析度上的誤差不低於單解析度基線，或收斂階更差，則 H2 被否證。

H3：拓撲損失降低錯接與斷裂。
若 Betti 數與持久圖誤差沒有改善，或幾何誤差顯著惡化，則拓撲模組需要移除或重設。

H4：主動學習降低高保真樣本需求。
若在相同誤差門檻下，主動學習所需高保真樣本不低於 Sobol 或 Latin hypercube 基線，則 H4 被否證。

H5：預測證書能有效攔截高風險樣本。
若低信心或高殘差規則無法在域外測試中達到預定召回率，則不得將系統接入自動製造。

10.3 判敗不是失敗，而是系統功能

對 AOCLS 而言，可靠地說「我不知道」比在未知材料上輸出精美但錯誤的三維預測更重要。可回退、可追蹤、可複核是模擬引擎的核心能力，不是附加功能。

第十一章　結論

AOCLS 虛擬光刻模擬引擎的可行方向，不是把神經網路描述成能自動掌握全部物理的黑盒，也不是把拓撲、格點與守恆律堆疊成不可證偽的宏大宣言。更可行的路徑是建立一個分層混合系統：高保真求解器提供基準，神經算子提供快速近似，物理殘差揭示局部違反，拓撲描述符檢查結構性錯誤，跨格點協議檢查尺度一致性，不確定性與域外偵測決定何時回退，實驗量測則負責最後校準。

在這個框架下，「計算即證明」需要被改寫為更嚴格的工程命題：

\text{計算結果} + \text{假設聲明} + \text{收斂證據} + \text{適用域} + \text{可重現紀錄} \neq \text{絕對真理},

但它們可以共同構成一份可檢查、可反駁、可逐步增強的證據。

AOCLS 的真正價值不在於宣稱「所見必然即所造」，而在於把「所見如何轉化為可製造結構」拆成一系列可計算、可驗證、可回退的明確環節。當這些環節被完整實作後，虛擬光刻才可能從願景變成可信的工程基礎設施。

附錄 A　v1.0 至 v2.0 的主要修訂

刪除未有證據支撐的「99% 精度」「10,000 倍加速」「0.5 秒推理」等既成結果表述。
將全部數值改為驗收目標或待測欄位。
將固定 3D U-Net 升級為可替換的神經算子架構。
修正 FDTD 與 FEM 複雜度敘述。
修正能量守恆式，納入反射、透射與場能變化。
刪除一般光敏材料情境下不必要的 Chern 數要求。
將「拓撲恆定」改為「拓撲事件與參考解一致」。
引入 Betti 數、Euler 示性數與持久同調。
加入跨格點、跨材料、跨幾何與域外驗證。
加入不確定性、回退與預測證書。
區分論文開源授權與尚未發布的程式碼／資料授權。
移除 Office 轉檔殘碼與內嵌 base64 公式圖片，統一為 Markdown 與 LaTeX。

附錄 B　主要符號

符號	意義
$\Theta$	幾何、材料、光源、邊界與製程輸入
$\mathbf{s}$	多物理場狀態
$\mathcal{F}_{h,\Delta t}$	高保真離散解算子
$\mathcal{G}_\phi$	學習式代理解算子
$h$	空間離散尺度
$\Delta t$	時間步長
$\rho_p$	聚合或固化程度
$\Omega_\tau$	以閾值 $\tau$ 定義的固化區域
$\beta_k$	第 $k$ 維 Betti 數
$D_k$	第 $k$ 維持久圖
$\chi$	Euler 示性數
$\mathcal{U}$	預測不確定性
$\mathcal{Z}$	綜合風險與回退分數

參考文獻

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版本狀態：v2.0 公開修訂版
定位：可實作、可驗證、可證偽的 AOCLS 虛擬光刻代理模擬架構